Родился 1 июля 1881 года в селе Фряново Богородского уезда Московской губернии (ныне в Щелковском районе Московской области), второй ребенок псаломщика фряновской Иоанно-Предтеченской церкви Димитрия Федоровича Кудрявцева.

Сергей поступил в Московскую духовную семинарию. В 1902 году он был уволен из 5-го класса семинарии, после чего состоял помощником учителя в Воскресенской, на Шоше, церковно-приходской школе Клинского уезда; а затем переведен на должность учителя в Ермолинскую церковно-приходскую школу.

В 1905 году был определен на вакансию псаломщика на погост Нерский Бронницкого уезда Московской губернии.

В 1908 году рукоположен во диакона к Богородице-Рождественской церкви села Анискина Богородского уезда.

19 июня 1911 года был рукоположен во иерея и определен на место второго священника в тот же храм села Анискина, в котором служил диаконом. Иерейскую хиротонию совершил епископ Дмитровский Трифон (Туркестанов).

В годы войны 1914 года отец Сергий был направлен на фронт. К приходскому служению вернулся в 1916 году, получив назначение в Космодамиановскую церковь села Кузьмино Серпуховского уезда Московской губернии.

С 1924 года состоял священником при Успенской церкви села Шматова Серпуховского округа Московской области.

В 1930 году община верующих села Анискина испрашивает на служение в местном приходе своего прежнего священника, и с 25 июля отец Сергий становится настоятелем Богородице-Рождественского храма.

Примерно в 1934 году был приговорен к ссылке за «101-ый километр», переезжает в город Киржач Ивановской промышленной области (ныне во Владимирской области). Здесь отец Сергий принимает решение ходатайствовать о переводе в Саратовскую епархию. В документах этого периода он упоминается уже в сане протоиерея, но точная дата получения им этой награды неизвестна.

Получив назначение, отец Сергий вместе с сыном Николаем переезжает в город Хвалынск Саратовской области, где назначен настоятелем храма в честь Воздвижения Креста Господня, став последним настоятелем этого храма.

27 ноября 1937 года протоиерей Сергий Кудрявцев был арестован Хвалынским РО УНКВД и препровожден в Вольскую тюрьму. При обыске у него был изъят паспорт, два послужных списка, 15 крестиков, 10 «разных молитвенных книг», иерейское облачение, около 400 рублей денег и дореволюционное удостоверение личности «с маркой царя Николая».

Всего по «делу хвалынских церковников» было арестовано 28 человек. 10 декабря 1937 года в заседании судебной тройки при Управлении НКВД по Саратовской области двадцать фигурантов дела были приговорены к высшей мере наказания, остальные восемь человек — к 10 годам лишения свободы.

Расстрелян 15 декабря 1937 года в городе Вольске. Похоронен в безвестной братской могиле.

26 марта 1956 года постановлением Саратовского областного суда «дело хвалынских церковников» было прекращено за недоказанностью обвинения.

21 августа 2007 года определением Священного Синода протоиерей Сергий Кудрявцев был причислен к лику святых новомучеников и исповедников Российских.